代数式综合，数学代几综合

中考冲刺：代数/代数综合题-知识讲解（提高版）

【中考前景】

综合代数题是中学数学中最综合、最全面的题型。近年来，中考期末题中出现了不少综合代数、代数题。解决综合代数问题一般可以分为三个步骤：“仔细审阅问题，理解问题的含义，寻找解决问题的思路，并给出正确答案。”意思是分析问题。数学思维是解决代数、代数中综合问题的灵魂，它包括隐藏在综合问题中的重要概念如换算思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程（不等式）的思想等等，你要善于探索。建立数学问题的数学模型是学习如何解决综合代数问题的关键。

问题类型一般为（1）方程与几何复合相关问题，（2）函数与几何复合相关问题，（3）动态几何函数相关问题，（4）矩形的几何问题和坐标系；（5）几何图形的搜索、归纳、演绎和证明问题。

题型特点：一是以几何形状为载体，通过线段、角度等形状找出元素之间的数量关系，建立代数方程或泛函模型进行求解。直观地表达和可视化几何图形，从函数关系中的点和线的位置以及方程根的条件中找出图形上的几何关系，并从数值中思考图形上的几何关系。灵活运用它们解决综合代数问题。关键是要把这两种知识相互转化。寻找解决问题的突破口。

[方法调用]

方程、几何综合题常作为中考中级题出题，重点是二次方程根的判别以及根与系数的关系，并结合代数表达式的恒等变换。解方程（群）、解不等式（群）、函数等的知识。其基本形式包括求代数表达式的值、求参数的值或值范围、以及证明与方程相关的代数表达式。

函数综合题主要包括几何与函数结合题、坐标与几何结合题、方程与函数结合题等，是各地中考中备受关注的题型。我们主要以函数为主线，建立函数的形象，然后结合函数和方程组的性质来解决问题。解题时需要注意函数的几何信息与方程的代数信息之间的相互转换。例如，函数图与x轴交点的横坐标为相应方程的根，函数图上一点的坐标满足函数的解析表达式。

函数是初中数学的重点和难点，也是中考命题的主考科目。这是因为这类题更能考验学生的函数思维、数形组合思维、分类思维。它是在各地中考中备受关注的题型，因为它能更全面地反映学生的讨论思维、转化思维等综合能力，具有较高的判别力。

综合几何题考验许多知识点和模糊条件，赋予学生较强的理解、分析和解决问题的能力，牢固掌握数学知识和数学方法的能力，还需要较强的意识和创新能力。

1.几何中的综合题往往会围绕相似形状和圆的知识，而涵盖其他几何、代数、三角学等知识，包括证明、计算等等。

2.几何计算是基于几何推理的几何量的计算，主要是计算线段和圆弧的长度，计算角度，计算三角函数的值，这包括计算各种形状的面积。

3、几何演示题主要考验学生综合运用所学几何知识的能力。

4、解综合几何题时应注意以下几点：

（1）注重数字与形状的结合，多角度、全方位观察形状，寻找隐藏条件，寻找数量关系、等价关系。

（2）注重推理与计算相结合，力求规范解题过程。

（3）注重学习传统的证明问题思维方式和传统的辅助线法。

（4）注意灵活运用数学思想和方法。

[典型示例]

类型1. 方程和几何组合问题

1.（2015•大庆模拟）如图所示，在RtABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm。 P点以每秒1厘米的速度从B沿B移动到A。 E点是以P点为对称中心的B点的对称点。 Q点从A移动到C，同时P点移动。当Q点到达顶点C时，P和Q同时停止移动。设两点P 和Q 的行程时间为t 秒。

(1) PQBC t 的值为多少？

(2)假设矩形PQCB的面积为y，求y与t的函数关系。

（3）四边形PQCB的面积能否为ABC的面积？如果可能的话，求此时t的值。如果不是，请解释原因。

（4）当t取什么值时，AEQ变成等腰三角形？（直接写出结果）

【思考技巧】

(1)首先利用RtABC中的勾股定理求AB=10，然后将PQBC分成BP=t、AQ=2t、AP=10-t的线段。对于比例定理，只需枚举并求解比例方程即可。

(2) 正确表示四边形PQCB 可以得出y 和t 之间的函数关系。

（3）只要列出方程组，根据矩形PQCB的面积为ABC的面积解方程组即可。

（4）若AEQ是等腰三角形，讨论以下三种情况：AE=AQ，EA=EQ，QA=QE。

【解答与分析】

解： (1) 对于RtABC，C=90，BC=8cm，AC=6cm，

AB=10cm。

BP=t, AQ=2t,

AP=ABBP=10t。

PQBC,

=，

=，

求解得到t=;

(2) S平方PQCB=SACBSAPQ=ACBCAPAQsinA

y=68_(10_t)•2t•

=24_t (10_t)

=t2_8t+24,

即，y相对于t的函数关系式为yt2-8t+24。

（3）四边形PQCB的面积可以是ABC的面积的理由如下。

根据题意，t2-8t+24=24。

完成后，得到t2-10t+12=0。

解为t1=5-，t2=5+（与题意不符的请忽略）。

因此，四边形PQCB的面积可以是ABC的面积，此时t的值为5-。

(4)当AEQ为等腰三角形时，我们分以下三种情况进行讨论。

若AE=AQ，则10-2t=2t，则解为t=。

若EA=EQ，则(10-2t)=t，则解为t=。

若QA=QE，则2t=5-t，解为t=。

因此，若t为秒秒秒秒，则AEQ为等腰三角形。

【总结与升华】

本题考察毕达哥拉斯定理、确定等腰三角形等。总体难度中等。解此题时需要注意分类讨论，避免漏解。其次，运用方程思维是解决问题的关键。

举一反三：

【变体】（2023年，镇江）如图1所示，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，E点从D点出发，沿射线DA方向速度为1单位长度。与.一起处理秒匀速运动设行程时间为t（秒），将线段CE绕C点顺时针旋转角度（=BCD），找到对应的线段CF。

(1)验证BE=DF。

(2) 当t=秒时，DF的长度有最小值，该最小值等于。

(3) 将BD、EF、BD 与EC、EF 在P、Q 点连接，如图2 所示。 t取多大值使得EPQ成为直角三角形？

（4）如图3所示，将线段CD绕C点顺时针旋转角度（=BCD），找到对应的线段CG。当E点移动时，当其对应点F在直线AD上时，直接用函数公式写出点F到直线AD的距离y相对于时间t的关系。

【回答】

解：（1）ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，

DCF=BCE,

四边形ABCD 是菱形，

DC=BC,

在DCF和BCE中，

,

DCFBCE(SAS),

DF=BE;

(2)如图1所示，

当E点移动到E\’点时，DF=BE\’，此时DF变为最小。

对于RtABE\’，AB=6，tanABC=tanBAE\’=2，

若AE\’=x，BE\’=2x，则

AB=x=6,

那么AE\’=6

DE\’=6+6, DF=BE\’=12,

所以答案是： 6+6、12。

(3) CE=CF,

CEQ90，

如图2所示，当EQP=90时，

ECF=BCD, BC=DC, EC=FC,

CBD=CEF,

BPC=EPQ,

BCP=EQP=90，

AB=CD=6, tanABC=tanADC=2,

DE=6,

t=6秒；

如图2所示，当EPQ=90时，

菱形ABCD 的对角线ACBD，

EC 与AC 重合，

DE=6,

t=6秒；

(4)y=t_12_,

如图3所示连接GF，分别与线AD和BC相交于M点和N点，并在经过F点的H点处画FHAD。

由(1)可知1=2。

且1+DCE=2+GCF，

DCE=GCF,

在DCE和GCF中，

,

DCEGCF(SAS),

3=4,

1=3, 1=2,

2=4,

GFCD,

另外，AHBN，

四边形CDMN是平行四边形；

MN=CD=6,

BCD=DCG,

CGN=DCN=CNG,

CN=CG=CD=6,

tanABC=tanCGN=2,

GN=12,

GM=6+12,

GF=DE=t,

FM=t_6_12,

tanFMH=tanABC=2,

FH=(t_6_12),

换句话说，y=t_12_。

类型2. 函数和几何组合问题

2. 在平面直角坐标系中，点P 从原点O 开始，沿x 轴以1 单位/秒的速率向右移动t (t>0) 秒，如图所示。抛物线y=x2+bx+c 经过点O 和P。我们知道矩形ABCD的三个顶点是A(1,0)、B(1,-5)和D(4,0)。

求c和b（可以表示为包含t的代数表达式）。

在t1时刻，抛物线与线段AB相交于M点。你认为P点移动时AMP的大小会变化吗？如果变化，请说明原因，如果没有变化，求AMP的值。

(3)矩形ABCD内(不包括边界)纵坐标和横坐标均为整数的点称为“好点”。如果是平分这些“好点”的抛物线，就直接写出t值的范围。

【思考技巧】

(1)由经过O点和P点的抛物线y=x2+bx+c，将O点和P点的坐标代入方程，得到c和b。

(2) 当x=1，y=1-t时，通过求M的坐标即可求出AMP的阶数。

(3)从图中可以直接得到答案。

【解答与分析】

解： (1) 将x=0, y=0代入y=x2+bx+c，得c=0。

然后，将x=t, y=0 代入y=x2+bx，我们得到t2+bt=0。

t>0,

b=-t；

(2) 没有变化。

抛物线的解析公式为y=x2-tx，M的横轴为1，

当x=1, y=1-t时，

M(1,1-t),

AM=|1-t|=t-1,

OP=t, AP=t-1,

上午=下午，

PAM=90，AMP=45；

(3)t。

左边的四个好点在抛物线上方，右边的四个好点在抛物线下方。没有解决办法。

左边的三个好点在抛物线上方，右边的三个好点在抛物线下方。

接下来，-4<y2<-3，-2<y3<-1，

换句话说，-4<4-2t<-3，-2<9-3t<-1，

如果<t<4 且<t<，则解为<t<。

左边两个好点在抛物线上方，右边两个好点在抛物线下方。没有解决办法。

左边的好点在抛物线上方，右边的好点在抛物线下方。没有解决办法。

左边的0好点在抛物线上方，右边的0好点在抛物线下方。没有解决办法。

综上，t的取值范围为

本题考察二次函数和点之间的关系。这道题很全面，难度中等。解题的关键是注重数字与形状的结合以及方程思想的应用。

类型3. 动态几何中的函数问题

3.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图形与轴相交于两点：A、B。 B点坐标为

(1)求二次函数的解析表达式和顶点D的坐标。

(2) 若点M是第二象限抛物线上的移动点，且直线OM将矩形ACDB分为面积1:2的两部分，求该点的坐标。

(3) P点是第二象限抛物线上的移动点。 问题：P点面积最大的地方是多少？然后求此时P点的坐标。