折叠问题解决方法归纳总结，折叠类型题

涉及形状的“折叠问题”是近年来中考中每年都会被问到的热点问题。折叠的物体常常包括三角形、长方形、正方形等，测试题包括求折叠点的位置、求折叠线的长度、求折纸边的长度和周长、以及求重叠的面积、寻找角度等涉及确定线段之间关系的折叠问题可以灵活变化，从考验空间想象力和实际操作能力的实际问题到直接使用折叠的推理计算问题。从与折叠操作相关的属性到基于折叠操作的整体问题乃至最终问题都变得更加灵活，对能力的要求也变得比以往更加清晰。对几何形状的识别和理解、空间思维能力和综合解决问题的能力。

计算，尤其是几何折叠和移动点问题，通常涉及搜索特殊三角形或寻找移动点的特殊位置。确定直角或等腰三角形：首先从可能满足直角的顶点或腰开始，直接结合矩形性质、折叠性质或直角勾股定理进行计算。设置有角度的三角形或特定线段的长度，并根据相似性、毕达哥拉斯定理等求解方程。阶级问题的焦点是分类的讨论。换句话说，大多数问题都有多种解决方案。注意等腰三角形的腰部、直角三角形的直角顶点以及特殊点的位置。下面对三种常见类型的折叠挑战进行分类和解释。我希望这对您的实际审查有所帮助。

1型折叠动点问题

1.（2023年春，中期江阴市）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=5cm，移动点P从A点出发，沿线段AB移动到B点。以1cm/s的速度，沿DP折叠A，使A点落在A\’点上。求当BPA\’为直角三角形时P点的行程时间。

【分析】本题考察折叠问题。折叠前后的两个形状是一致的。即对应的线段相等且对应的角度也相等。我们还将探讨矩形的属性和毕达哥拉斯定理。注意，这个问题有两种情况。

如果A\’、P、B都是直角顶点，则求AP的长度。

(1) 当B A\’P=90时，如果将其弯曲，则P A\’D=A=90，

B A\’D=B A\’P+P A\’D=180，B、A\’、D 点在直线上，

假设AP=xcm，A\’P=x，B P=12-x，A\’B=13-5=8。

(2) 若A\’P B=90，A\’P A=90，

则DAP=A=90，四边形APAD为矩形，

从折叠的性质来看，A\’P=AP，square APA\’D是正方形，

AP=AD=5, P点移动时间为51=5秒。

(3) 当P=90时，A\’B不存在。

综上所述，满足要求的P点行程时间为10/3秒，即5秒。

2.（2023年春季永宁区校级月考）如图所示，菱形ABCD的边长为4，A=60，M为边AD的中点，N为边AD的移动点边AD。沿AB 边画AMN，将MN 所在的直线对折，得到A\’MN，并将其与A\’C 连接，A\’C 的最小值为（ ）。

A。 23 B. 3+1 C. 27-2 D. 3

【解析】这是一道考查逆变换、菱形性质、毕达哥拉斯定理、两点间最短线段等知识的题。解决问题的关键是记住如何添加辅助圆线和构造直角三角形。你需要正确找到不同的突破点。 A\’点的位置。该问题的不变量是MA。因此，既然可以以A点为圆心，则可以以MA的长度为半径，通过辅助圆来确定A\’的位置。然后利用锐角三角关系求出所需的长度A\’C。如图所示，MA\’是一个固定值。假设当A\’C的长度取最小值时，即A\’在MC上，经过M点，MHDC到达F点。

2型折叠操作调查题

3.（2023年秋季港北区决赛）如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，AE=x。将ABE乘以BE得到ABE，当A点落在矩形ABCD内且AA\’G=90时，求以A\’、G、C点为顶点的三角形的值。 X。

【分析】从相似三角形的判断和性质以及折叠的性质可以解决两种情况。 如图所示，GA\’C=90，AA\’G=90，点A、A\’、C在同一条直线上，

BAE=ADC=90，ABE=DAC，ABEADC，

AB/x=AD/CD，即3/x=9/3，解为： x=1;

如图所示，A\’GC=90，DGC=GAA\’=ABE，ABEDGC，

4.（2023·建邺区模型）图为AOB=45的折叠纸，Q分别为OA、OB边上的点，OP=2cm。如果沿PQ 折叠AOB，O 点将位于纸上的C 位置。

(1) 若PCQB，OQ=______cm。

在OB上找到一个小Q，创建PCQB（用尺子和圆规画，留下画的痕迹）。

(2)求折叠后重叠部分为等腰三角形时OQ的长度。

【分析】本题是一道综合题，考察了折叠的性质、直角等腰三角形的性质及性质、平行线的性质及性质、等腰三角形的性质及性质、菱形的性质及性质。解直角三角形这个问题是综合性的、困难的，所以理解折叠的本质并证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键。

(1) 当PCQB，O=CPA时，由于折叠的性质，C=O，OP=CP，CPA=C，OPQC，四边形OPCQ是平行四边形，

四边形OPCQ 是菱形，OQ=OP=2cm 因此，答案为：

如图：

(2) 如果C 点在AOB 的内部或一侧，则重叠部分为CPQ。

CPQ是对OPQ进行折叠得到的，所以如果OPQ是等腰三角形，那么重叠的部分也应该是等腰三角形。

如图1、2、3三种情况所示，当PQ=PO时，OQ=2OP=22cm，当QO=QP时，OQ=2/2OP=2cm，OQ=OP，若OQ=。 OP=2cm。

如果C点在AOB之外，那么如果C点在射线OB之上（如图4所示），则OQ=6 – 2（cm），如果C点在射线OA之下的话（如图5所示） ），OQ=6+2（厘米）。

综上所述，若折叠后重叠部分为等腰三角形，则OQ的长度为2cm或2cm或22cm或(6-2)cm或(6+2)cm。

类型3 可折叠的存在探索问题

5.（2023年秋季，浜子区中级）已知有两个直角等腰三角形ABC和CDE，两个直角顶点B和D在直线MN上，点A和点E用AG表示。 MN 和EF 分别为MN，垂直腿分别为G 和F。

（1）如图1所示，当ABC、CDE在BCD之外时，考察线段EF、DB、AG之间的数量关系。数量关系是______。

（2）如图2所示，若将图1中的ABC沿BC折叠，其他条件不变，则（1）中的结论成立吗？如果属实，请提供证据。如果不是，请研究数量关系并解释原因。

【解析】本题考查的是逆变换、直角等腰三角形的性质、如何求全等三角形及其性质等知识。解题的关键是记住如何附上常用的辅助线以及如何构造全等三角形。

(1)结论：BD=EF+AG。若证明FDEHCD(AAS)，则得EF=DH。同理，我们可以证明BHCAGB，得AG=BH，问题就解决了。

(2)结论不变，证明方法不变。

原因：将CHMN放入H中，如图2所示。

EFMN，AGMN，EFD=EDC=CHD=90，

EDF+CDH=90, CDH+DCH=90, EDF=DCH,

DE=DC, FDEHCD(AAS), EF=DH,

同理，我们可以证明BHCAGB，AG=BH，BD=EF+AG。

因此，答案为BD=EF+AG。

6.（2023年秋季海沧区学校水平月考）如图所示，OABC是一张放置在平面正交坐标系中的长方形纸片，其中O为原点，A点在x的正半轴上。 有。 – 轴，C 点位于y 轴的正半部分，OA=5，OC=4。选择OC边缘的D点，沿AD折叠纸张，使O点位于BC边缘的E点。

(1)求两点D、E的坐标。

(2) 取AB的中点M，y轴上是否有一点P使得PEM为等腰三角形？请求P 点的坐标（如果有）。如果不是，请解释原因。

【分析】本题考虑了折叠变换（折叠问题）、矩形的性质、毕达哥拉斯定理以及求函数解析表达式的待定系数方法，应用了分类讨论的思想。解决问题的关键。

(1) 根据折叠的性质，可得AE=AO，OD=ED。利用毕达哥拉斯定理，我们可以从线段的和与差求出EB的长度。即可求出CE的长度和E点(2, 4)的坐标。然后，根据毕达哥拉斯定理，我们可以得到OD的长度，并可以得到D点的坐标(0, 5/2)。 ）；

(2) 存在性，PEM是等腰三角形，且当EP=EM时，

M为AB的中点，BM=2=CE，

7.（2023年春季江三区决赛）实战操作

将纸张折成长方形ABCD，AB=4，AD=3。将D点对应的点标记为P点，折痕为EF（E点和F点为折痕与矩形边的交点）并将纸张放回原处。

初步想法

(1) 当点P 在矩形ABCD 的边AB 上时（图1）

若P点与A点重合，则DEF=_____；若E点与A点重合，则DEF=_______。

若E点在AB上，F点在DC上（图），

验证：矩形DEPF是菱形，直接描述AP=3.5时菱形EPFD的边长。

深入挖掘

（2）若P点在矩形ABCD内（图），且E点和F点分别在边AD和DC上，则直接写出AP_______的最小值。

扩大和扩大

(3)当F点与C点重合时，E点在AD上，线段BA与线段FP相交于M点（图）。是否存在线段AM和线段DE在各个折叠位置长度相等的情况？如果有，请直接写出线段AE的长度。如果不是，请解释原因。

【解析】题目包括四边形的一般问题、矩形的性质、反演变换、全等三角形的求法及其性质、毕达哥拉斯定理、菱形的求法及其性质等。解决问题的关键是灵活运用所学的知识来解决问题。中考的最后一道题是学习如何利用参数解决问题。

【答案】（1）如图所示，当P点与A点重合时，EFAD，DEF=90。

如果E点与A点重合，则四边形的DEPF是正方形，DEF=45，所以答案是90。

如图，折叠时可以看到DF=PF，DE=PE，DFEPDFE=FEP。

DFE=PFE, PFE=PEF, PF=PE, DE=DF=PE=PF

矩形的DEPF是菱形，当AP=3.5且AE=x时，PE=DE=3.5-x。

(2) 最小值为1。 原因：如图所示，容易看出AP+PF+FCAC，只有A、P、F、C匹配时才取等号。由于它们共线，因此FP=FD，或PF+FC=FD+FC=CD。

APACCD=1，即最小值为1，所以答案为1。

(3) 如图所示连接EM。 DE=EP=AM,EAMMPE(HL),

若AM=DE, PE=x, 则AM=DE=3-x, BM=x+1

MP=EA=x, CP=CD=4, MC=4-x

[方法概述]

解决折叠问题的核心是研究折叠前后的变化，尤其是折叠过程中保持不变的——个形状的全等，从而产生等角、等线段等几何元素之间的关系。

如何思考折叠问题：

(1)观察折叠前后的不变量。对应于全等垂直平分线。

(2) 探索折叠后的新形状： 折叠后出现的新形状： (3) 使用常见模型解决问题：同余、毕达哥拉斯、相似等。

解题时要密切注意轴对称性质和背景图形性质的灵活运用。充分理解轴对称的性质。折线是一条对称轴，折线两侧的形状全等，对应点的连线垂直于对称轴，对应边平行或相交。它位于对称轴上。