在立体几何中，对于线与面的角度或面与面的角度问题，通常使用两种通解。一是建立坐标系，利用向量知识来解决问题。这个方法非常常规，一旦掌握了它，你就拥有了解决此类问题的万能钥匙。另一种方法当然是几何方法。对于存在角度的直角三角形，使用三角函数的基本概念可以更轻松地查找和求解角度。几何方法的主要困难是找到这个角度。这个角度很难找到，因为它通常受到你的空间想象力的限制。或者说，即使找到了，也很难满足解决的条件。那么矢量法和几何法哪个更好呢？其实这个问题并不矛盾。由于构建系统采用矢量方法，我们需要找到一个合适的点作为原点来构建系统，还需要“两条相互正交”的直线作为空间坐标系的三个轴。所以，在寻找建立关系的场所时，也可以寻找这个角度。如果求这个角度太困难，就应该立即放弃几何方法，集中精力求解系统矢量方法。如果角度很容易找到，则无需建立坐标系。例如，在下面2023年高考数理卷A的立体几何题中，求直线和平面之间的角度是非常容易的。当你找到它之后，你可能没有意识到这就是你要找的线和平面的角度。发生了什么？我们先来看看问题吧！对于四棱锥，P-ABCD，PD底ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=平方根3。
(1)证明：BDPA；
(2) 求PD 与平面PAB 之间夹角的正弦值。
分析：（1）用相反的思路，如果要证明BD垂直于PA，则可以证明BD垂直于平面PAD，而由于PD垂直于BD，所以BD垂直只需要证明那。到公元。为此，我们需要得到AB的中点E，连接CE和DE得到菱形BCDE和平行四边形ADCE，并证明AD垂直于BD。 (2)系统建立时，D为原点，BD为x轴，AD为y轴，PD为z轴。这也很容易。然而，我们也可以很容易地找到PD和平面PAB之间的线角和平面角。获取AE的中点F。这是AB在A点附近的象限。当您连接DF 和PF 时，角度DPF 就成为您正在寻找的线与面的角度。这是因为很容易证明三角形ADE是等腰三角形，并且由于AE是底，DF垂直于AB，而由于PD垂直于AB，所以很容易证明AB垂直于平面PDF。只要DG垂直于PF且点G到D，DG同时垂直于AB且垂直于平面PAB。因此，角度DPF 是PD 与平面PAB 之间的角度。这是因为它符合线角的定义。然而，由于三角形PDF是直角三角形，因此不需要创建DG。您可以直接求出直线和平面之间的角度的正弦值。
证明： (1)取AB的中点E，连接CE和DE。
BE=AE=AB/2=1=CD=CB，且CD//AB，
四边形BCDE 是菱形四边形ADCE 是平行四边形。
BDCE、CE//AD、BDAD、
那么，PD下ABCD，BD下ABCD，BDPD，
BD平面ADP，
那么，PA平面ADP，BDPA (2) 如果取AE的中点F，连接DF和PF，则得AF=AE/2=1/2。
DPF 是PD 与平面PAB 之间的角度。
AD=AE=DE=BC=1，DF=平方根3 AF=平方根3/2。
PDDF，PF=平方根（PD^2+DF^2）=平方根15/2。
sinDPF=DF/PF=根号5/5 当然，这并不意味着系统的构建方式不重要。老黄再次尝试用系统构建的方法来解决问题，看看这两种解决问题的方法是否同样简单。 (2)方法二：建立原点为D、x轴为BD、y轴为AD、z轴为PD的坐标系，A(0,1,0),P(0,0,根3) , B(b, 0,0)。由于根符号(b^2+1)=2，所以解为b=平方根3（负值被丢弃）。假设PA=(0,1,-平方根3)，向量AB=(根3,-1,0)，平面PAB的法向量为n(x,y,z)，则y根3 z=0，根3x-y=0。假设y=平方根3，则z=1，x=1。 [y 可以是0 以外的实数。 ]向量DP=(0,0,平方根3)，记向量n与向量DP的夹角为，cos
=n*DP/(|n|*|DP|)=平方根3/平方根(15)=平方根5/5 所以PD与平面PAB之间的角度的正弦为：
路线编号为5/5。
那么这两种方法你更喜欢哪一种呢？
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